Mehrstufige Zufallsversuche

Setzen sich Versuche aus mehreren hintereinander oder gleichzeitig ausgeführten einstufigen Versuchen zusammen, so spricht man von mehrstufigen Versuchen. Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Glücksrad ein A zu drehen liegt bei 1 3 . Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Glücksrad ein A zu drehen liegt bei 1 6 . Wie hoch aber ist die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig mit beiden ein A zu drehen? Für die Beantwortung dieser Frage ist es hilfreich, mehrstufige Zufallsversuche in einem Baumdiagramm darzustellen. Mit seiner Hilfe lassen sich die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten berechnen. An jedem Pfad steht die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ergebnisses. Für die Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeiten gelten dann zwei Regeln:

  • Produktregel:
    Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden miteinander multipliziert.
    Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Glücksräder unten je ein A anzeigen (AA) liegt bei 1 3 · 1 6 = 1 18  .

  • Summenregel:
    Besteht ein Ereignis aus mehreren Pfaden, dann werden die Einzelwahrscheinlichkeiten dieser Pfade addiert.
    Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Glücksräder zwei gleiche Buchstaben anzeigen (AA oder BB) liegt bei 1 18 + 2 9 = 5 18  .

Wahrscheinlichkeit Pfad erklären

Aufgabe 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit den oberen Glücksrädern die Kombination AB oder BC zustande kommt?

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine der beiden Buchstabenfolgen erscheint, liegt bei  .

Versuche: 0


Aufgabe 2: Die zwei Glücksräder drehen sich gleichzeitig. Trage die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse gekürzt in das Baumdiagramm ein.

Bruch Bruch



= grün
= grün





= gelb

  




= grün
= gelb





= gelb



richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 3: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei den oberen Glücksrädern ...

a) gleichzeitig grün erscheint, liegt bei . ← Produktregel
 
b) gleichzeitig gelb erscheint, liegt bei . ← Produktregel
 
c) mindestens ein Mal grün kommt, ist . ← Produkt- und Summenregel
Kürze die Ergebnisse so weit wie möglich!


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 4: Bei einem Glücksrad gewinnt ein Drittel aller Felder. Wie wahrscheinlich ist es, das bei zweimaligem Drehen kein Gewinn erzielt wird?

Wahrscheinlichkeit Pfad

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit liegt bei  .

Versuche: 0


Aufgabe 5: Die 3 Glückssymbole Marienkäfer, Kleeblatt und Glückspilz werden vom Computer mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 3 angezeigt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheinen bei 2 Versuchen hintereinander:

a) zwei Marienkäfer
 
b) kein Marienkäfer
 
c) keine Symbole doppelt 

Kürze so weit es geht.

Versuch 1

Versuch 2

Wahrscheinlichkeit 1/3

Versuche: 0



Aufgabe 6: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit dem unteren Glücksrad die aufgeführten Buchstabenkombinationen zu erzielen?

Glücksrad E-S1
I-S-T1
E-I-N1
E-I-S1
I-M1
T-E-E1

Versuche: 0


Aufgabe 7: Das Glücksrad wird zwei Mal gedreht. Trage unten die richtigen Wahrscheinlichkeiten für die angegebenen Summen der beiden Glücksradzahlen als gekürzten Bruch und in Prozent ein.



Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Gluecksrad
Glücksrad Pfad
als
gekürzter
Bruch
in
Prozent
 
a) Summe = 5 %
 
b) Summe > 5 %
 
c) Summe ≥ 5 %
 
d) Summe 5 %

Versuche: 0


Aufgabe 8: Das Glücksrad wird zwei Mal gedreht. Trage unten die richtigen Wahrscheinlichkeiten für die angegebenen Zahlen als gekürzten Bruch ein.

Glücksrad als
gekürzter
Bruch
Glücksrad Pfad
 
a) gleiche Augenzahl
 
b) Augensumme 7
 
c) Augensumme 5
 

Versuche: 0


Aufgabe 9: Das Rad wird zweimal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für:

zweimal Grün (A)  1 Kreissegmente
erst Grün (A), dann Blau (C) 
576
einmal Orange (B), einmal Gelb (D) 
36
genau einmal Blau (C) 
288
höchsten einmal Grün (A) 
576

Versuche: 0


Aufgabe 10:

Ein Würfel wird zwei Mal hintereinander geworfen.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt die Summe der beiden Punkte folgende Ergebnisse? Trage die fehlenden Nenner der Brüche ein.

a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)  j)  k)
Punktesumme: 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12
Wahrscheinlichkeit: 1
  1
  1
  1
  5
  1
  5
  1
  1
  1
  1

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt man zwei gleiche Zahlen? Antwort: 

1

Würfelpfad

Versuche: 0


Aufgabe 11: Beim "Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel" hat man anfänglich drei Versuche, um eine Sechs zu Würfeln. Wie wahrscheinlich ist es, das mit drei Würfen mindestens ein Mal zu schaffen?


Die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein Mal eine Sechs zu würfeln, liegt bei .
216

Versuche: 0


Aufgabe 12: 

Aus dem unteren Sack werden 2 Kugeln nacheinander gezogen. Die zuerst gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt.

a)  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei rote Kugeln gezogen werden?
b)  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine blaue Kugel gezogen wird?

Aufgabe von 15

Antwort:  a) 
Die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln liegt bei  .
b) 
Die Wahrscheinlichkeit für genau eine blaue Kugel - (Rot,Blau) oder (Blau,Rot) - liegt bei  .
Kürze die Ergebnisse soweit wie möglich!


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 13: In einem Geldbeutel befinden sich die Münzen, die vor dem Diagramm aufgeführt sind. Zwei Münzen werden nacheinander zufällig aus dem Beutel genommen. Ergänze die aufgeführten Wahrscheinlichkeiten.

Münze 1

Münze 2

Verbinder
B0
VerbinderB
A0
L2
B1
B2
 
Verbinder
C0
A1
L2
C1
C2
 
Verbinder
D0
A2
L2
D1
D2


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 14: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird aus dem oberen Geldbeutel ...

a) zwei Mal eine 5 Cent genommen? .
 
b) mindestens ein Mal eine 1 Euro geholt? .
Kürze die Ergebnisse so weit wie möglich!


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 15: Ein Multiple-Choice-Test besteht aus drei Aufgaben mit jeweils vier Antworten. Bei jeder Aufgabe ist nur eine Antwort richtig. Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand, der die Antworten nicht kennt, durch Zufall a) alle, b) mindestens zwei und c) mindestens eine Antwort richtig hat? Gib die Lösung als gekürzten Bruch an.

Multiple-Choic-Pfad

Antwort:  Die Wahrscheinlichkeit a) alle drei Antworten richtig anzuklicken liegt bei  .
 
b) mindestens zwei Antworten richtig zu haben ist  .
 
c) mindestens eine richtige Antwort zu treffen ist  .

Versuche: 0


Aufgabe 16: Unter zehn Fahrgästen einer Straßenbahn befinden sich zwei Schwarzfahrer. Ein Kontrolleur bittet 3 Personen, ihren Fahrschein vorzuzeigen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Schwarzfahrer in die Kontrolle geraten?

Die Wahrscheinlichkeit, beide Schwarzfahrer zu erwischen, liegt bei  1

Versuche: 0


Aufgabe 17: Unten siehst du die Scheiben eines Spielautomaten, bei dem das dreimalige Erscheinen der Zahl 7 in den Sternenfeldern den Hauptgewinn erzielt.

a)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 7 in allen drei Sternenfeldern erscheint, wenn der Automat von außen nicht beeinflusst wird?
b)  Die linke und die rechte Scheibe können bei nicht Erscheinen der gewünschten Zahl jeweils ein zweites Mal aktiviert werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint am Ende des Spieles drei Mal die 7, wenn diese Möglichkeit genutzt wird?

Spielautomat
Hauptgewinn-
runden
2 1 2
7 7 7
7 7 X 7
7 X 7 7
7 X 7 X 7
a) Die Wahrscheinlichkeit, ohne Hilfe der zweiten Runde drei mal die 7 zu erzielen, liegt bei  .
b) Die Wahrscheinlichkeit, mit Hilfe der zweiten Runde drei mal die 7 zu erzielen, liegt bei  .

Versuche: 0


Aufgabe 18: 

Von 6 Karten haben jeweils zwei das gleiche Symbol (2 x Dreieck, 2 x Quadrat, 2 x Kreis). Sie liegen verdeckt auf dem Tisch und du ziehst ohne zu kontrollieren zwei Stück.

a)  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Symbole zu ziehen?
b)  Mit welcher Wahrscheinlichkeit ziehst du mindestens einen Kreis?
c)  Du ziehst drei Kärtchen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, drei unterschiedliche Symbole zu ziehen?

Antwort: a)  Die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Symbole zu ziehen, liegt bei  %.
b)  Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Kreis zu ziehen, liegt bei  %.
c)  Die Wahrscheinlichkeit, bei drei Zügen drei unterschiedliche Symbole zu ziehen, liegt bei  %.

Versuche: 0


Aufgabe 19: In einem Beutel befinden sich rote, blaue und grüne Kugeln. Nach dem Ziehen einer Kugel, wird ihre Farbe notiert und die Kugel wieder in den Beutel zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit:

• zwei rote Kugeln zu ziehen, beträgt  1 .
1
• eine rote und dann eine blaue Kugel zu ziehen, beträgt  1 .
1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei grüne Kugeln zu ziehen?
Kürze so weit wie möglich.

Kugelpfad

Die Wahrscheinlichkeit, zwei grüne Kugeln zu ziehen, beträgt  .


richtig: 0falsch: 0


Gegenereignis

Ergebnisse, die als Ereignis bei einem Zufallsversuch erwünscht sind, bezeichnet man als günstige Ergebnisse. Ergebnisse, die nicht erwünscht sind, heißen ungünstige Ergebnisse. Alle ungünstigen Ergebnisse bilden das Gegenereignis.

Beispiel: Am Anfang eines "Mensch-ärgere-Dich-nicht-Spiels" wünscht sich jeder Spieler als Ereignis eine 6. Die Wahrscheinlichkeit, sie zu würfeln, liegt bei 1 6 . Die Wahrscheinlichkeit für ein Gegenereignis (1, 2, 3, 4, 5) liegt bei jedem Wurf bei 5 6 . Rechnerisch bedeutet das:

  P(Ereignis)  = 1 -  P(Gegenereignis)
Beispiel: 1 6  = 1 -  5 6
 
P(Gegenereignis)  = 1 -  P(Ereignis)
Beispiel: 5 6  = 1 -  1 6

Aufgabe 20: Trage unter die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse ein.

Ereignis:
1
4
4
7
0,2 0,68 95 % 84,2 %
Gegenereignis:
% %

Versuche: 0


Aufgabe 21: Klick das richtige Gegenereignis an.

  • Ereignis: Eine Zahl würfeln, die kleiner als 5 ist.
    Gegenereignis: Eine Zahl würfeln, die

  • Ereignis: Aus einem Beutel mit roten, blauen und gelben Zetteln einen blauen Zettel ziehen.
    Gegenereignis: Aus einem Beutel mit roten, blauen und gelben Zetteln

  • Ereignis: Aus einem Skatspiel eine Karte zu ziehen, die weder ein Bube noch ein Dame ist.
    Gegenereignis: Aus einem Skatspiel eine Karte zu ziehen, die

Versuche: 0


Aufgabe 22: Aus einem Beutel mit 3 blauen und 3 roten Kugeln werden zwei Kugeln gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keine rote Kugel dabei.

Gegenereignis

Antwort: Mit einer Wahrscheinlichkeit von % ist keine rote Kugel dabei.

Versuche: 0


Aufgabe 23: Aus einem Beutel mit 3 blauen und 3 roten Kugeln werden zwei Kugeln gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine rote Kugel dabei.

Antwort: Mit einer Wahrscheinlichkeit von % ist mindestens eine rote Kugel dabei.

Versuche: 0


Aufgabe 24: Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Schachspiel eine beliebige Figur genommen wird, die kein Pferd ist. Mit Hilfe des Gegenereignisses geht es einfacher.

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Pferd genommen wird, liegt bei  %.

Versuche: 0

Schachspiel
chess game 01
von: Anonymous
Lizenz: Public Domain
Original: Hier

Aufgabe 25: Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Es ist kein Sechserpasch. Trage die Lösung als gekürzten Bruch ein.

Antwort:: Die Wahrscheinlichkeit, keinen Sechserpasch zu würfeln, liegt bei  .

Versuche: 0


Aufgabe 26: Bei einem Glücksrad gewinnt jedes fünfte Feld. Wie wahrscheinlich ist es, dass bei zweimaligem Drehen kein Gewinn dabei ist?

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit liegt bei %.

Versuche: 0


Aufgabe 27: In einem Sack sind nur eine grüne und eine rote Kugel. Es wird drei Mal gezogen. Die gezogene Kugel wird jedes Mal zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das mindestens ein mal Grün erscheint? Berechne mit Hilfe des Gegenereignisses. Trage den gekürzten Bruch ein.

Ereignispfad

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit liegt bei  .

Versuche: 0


Vierfeldertafel

Eine Vierfeldertafel eignet sich dazu, Mengen darzustellen, die aus zwei Merkmalen mit jeweils zwei Ausprägungen bestehen.
  • Beispiel: Die 14 Mädchen und und 11 Jungen einer Klasse werden gefragt, ob die nächste Klassenfahrt an die See oder in die Berge gehen soll. Die Umfrage ist folgendermaßen ausgefallen:
Merkmal 1
Geschlecht
Klassenfahrt Ausprägung 1
Mädchen
Ausprägung 2
Jungen
Merkmal 2
Ort
Ausprägung 1
Berge
4 5 9 Zeilen-
summe
Ausprägung 2
See
10 6 16
14 11 25
Spaltensumme

Aufgabe 28: Trage die fehlenden Werte in die Vierfeldertafel ein.

Zungenroller

Zungenroller Mädchen Jungen
ja 58
nein 8 12
43

Versuche: 0


Aufgabe 29: Trage die fehlenden Werte in die Vierfeldertafel ein.

Smartphone

Smartphonefreier
Tag
Klasse
10 a
Klasse
10 b
dafür % 20 % %
dagegen 22 % % %
% 52 % 100 %

Versuche: 0


Aufgabe 30: Von den 36 Rauchern einer 78 Schüler starken 10ten Jahrgangsstufe sind 22 im Sportverein. 32 Jugendliche gehören keinem Sportverein an. Trage die notwendigen Daten in die Vierfeldertafel ein.

Sport
Silhouette Sport Disciplines Set
von: shokunin
Lizenz: Public Domain
Original: Hier

Raucher Nicht-
raucher
Sportverein
kein Sportverein

Versuche: 0


Aufgabe 31: Von 108 Schülern wünschen sich 74, einmal eigene Kinder groß zu ziehen. 35 % der Jungen möchten allerdings keine Kinder haben. Von den 48 Mädchen ist eine Mehrheit für eigene Kinder. Wie viele Mädchen und wie viele Jungen möchten später einmal eigene Kinder haben?

Baby
Happy Baby
von: qubodup
Lizenz: Public Domain
Original: Hier

Kinderwunsch Mädchen Jungen
positiv
negativ

Antwort: Später möchten Mädchen und Jungen einmal eigene Kinder haben.

Versuche: 0


Aufgabe 32: Ein neuer Schwangerschaftstest hat in der Erprobung bei 940 Schwangeren ein positives geliefert. 50 Frauen waren nicht schwanger. Insgesamt fiel der Test bei 960 der 1000 untersuchten Frauen positiv aus. Wie viel Prozent der Frauen haben ein falsches Ergebnis präsentiert bekommen?

Schwanger-
schaftstest
Frau ist
schwanger
Frau ist nicht
schwanger
Test ist
positiv
Test ist
negativ

Antwort: Bei  % der Frauen zeigte der Test ein falsches Ergebnis an.

Versuche: 0


Aufgabe 33: Besteht ein Zufallsversuch aus zwei Ereignissen, die jeweils eintreten können oder auch nicht, dann kann man zur Auswertung die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ebenfalls in einer Vierfeldertafel anordnen. Unten siehst du den entsprechenden Aufbau in versprachlichter Form. Klick unten jeweisl das die Zeichen an, die in den roten Rahmen gehören.

Ereignis B
tritt ein
Ereignis B
tritt nicht ein
Ereignis A
tritt ein
Wahrscheinlichkeit,
dass A und B
eintreten
Wahrscheinlichkeit,
dass A eintritt
und B nicht
Wahrscheinlichkeit,
dass A
eintritt
Ereignis A
tritt nicht ein
Wahrscheinlichkeit,
dass B eintritt
und A nicht
Wahrscheinlichkeit,
dass A und B
nicht eintreten
Wahrscheinlichkeit,
dass A
nicht eintritt
Wahrscheinlichkeit,
dass B
eintritt
Wahrscheinlichkeit,
dass B
nicht eintritt
100 %


B B gesamt
A P( ) P( ) P( )
A P( ) P( ) P( )
gesamt P( ) P( ) 100 %

A A B B A B A B A B A B


Versuche: 0


Aufgabe 34: Ein neuer Schwangerschaftstest hat in der Erprobung bei 94 % der Schwangeren ein positives Ergebnis geliefert. 50 Frauen waren nicht schwanger. Insgesamt fiel der Test bei 96% der 1000 untersuchten Frauen positiv aus. Trage die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein. (Daten aus Aufgabe 32 in Prozent)

Schwanger-
schaftstest
Frau ist
schwanger
Frau ist nicht
schwanger
Test ist
positiv
% % %
Test ist
negativ
% % %
% % 100 %

Versuche: 0


Aufgabe 35: Ein Uhrhändler erhält 40 Uhren, von denen 65 % mit Tagesanzeige sind. Ein Fünftel der Uhren hat ein Stahlarmband. 12 Uhren haben keine Tagesanzeige und kein Stahlarmband. Wie viele Uhren mit Stahlarmband haben eine Tagesanzeige?

Uhr
Analog wrist-watch
von: Stellaris
Lizenz: https://openclipart.org/share
Original: Hier

Uhr Tagesanzeige keine
Tagesanzeige
Stahlarmband % % %
kein Stahlarmband % % %
% % %

Antwort: Von den Uhren mit Stahlarmband haben % eine Tagesanzeige.

Versuche: 0


Aufgabe 36: In der Fangioallee und in der Laudastraße werden Geschwindigkeitskontrollen durchgeführt. Von den 500 Autos in der Fangioallee sind 4 % zu schnell gefahren. Von den 300 Fahrzeugen der Laudastraße waren es 8 %. Bei wie viel Prozent aller Autos wurde eine Tempoüberschreitung festgestellt?

Rennwagen
race-car
von: netalloy
Lizenz: https://openclipart.org/share
Original: Hier

Geschwindigkeits-
kontrolle
Fangio-
allee
Lauda-
straße
Tempo
angepasst
KFZ
%
KFZ
%
KFZ
%
Tempo
zu schnell
KFZ
%
KFZ
%
KFZ
%
500 KFZ
%
300 KFZ
%
800 KFZ
100 %

Antwort: Bei % aller Fahrzeuge wurde ein zu hohes Tempo gemessen.

Versuche: 0


Aufgabe 37: In einer Voliere sind 2 5 der Wellensittiche Männchen und 3 5 Weibchen. 75 % der Männchen und 1 6 der Weibchen haben ein blaues Gefieder. Gina beobachtet einen blauen Vogel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um ein Männchen? Trage die richtigen Werte in die Vierfeldertafel und in den Lösungssatz ein.

Wellensittiche m w gesamt
 blau  %  %  %
 grün  %  %  %
gesamt  %  % 100 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass Gina ein Männchen betrachtet liegt bei  %.

Versuche: 0