Quadratische Gleichung

  • In quadratischen Gleichungen taucht die gesuchte Variable als Quadrat (x²) auf.

Rein quadratische Gleichung

  • In rein quadratischen Gleichungen kommt die Variable nur in quadratischer Form (x²  x ) vor.

Aufgabe 1: Trage den positiven Wert von x1 ein. Der entsprechende negative Wert x2 wird automatisch angezeigt.

a) x² = ; x1 = ; x2 = - zzz b) x² = ; x1 = ; x2 = - zzz
c) x² = 1 ; x1 = 1 ; x2 = -  1
zzz
d)   = 
1 ; x1 = 1 ; x2 = -  1
zzz
e)  1 x² = ; x1 = ; x2 = - zzz
f) -x² = - ; x1 = ; x2 = - zzz


richtig 0falsch 0


Aufgabe 2: Trage den positiven Wert von x1 ein. Der entsprechende negative Wert x2 wird automatisch angezeigt.

a) x² = ; x1 = ; x2 = -zzz
b) = ; x1 = ; x2 = -zzz
c) x² - 1  = 0; x1 = 1 ; x2 = -  1
zzz
e)  1 = ; x1 = ; x2 = -zzz
f) - = ; x1 = ; x2 = -zzz


richtig 0falsch 0


Aufgabe 3: Trage jeweils den Betrag (ohne Vorzeichen) für x ein.

a) (x + 3) · (x - 3) = 0; x1 = ; x2 = -

b) (x - 5) · (x + 5) = 0; x1 = ; x2 = -

c) (x + 2)² = 4x + 40; x1 = ; x2 = -

Versuche: 0


Aufgabe 4: Stelle die Reglern der Grafik so ein, dass die in der Tabelle aufgeführten Gleichungen in der Grafik links unten erscheinen. Übertrage die x-Werte in die entsprechenden Textfelder.

Info: Die Nullstellen einer Funktionsgleichung können als Lösung einer quadratische Gleichung ausgelegt werden. Wie quadratische Funktionen eine, zwei oder keine Nullstelle aufweisen, können quadratische Gleichungen eine, zwei oder keine Lösung haben.


a) x² - 4 = 0; x1 = ; x2 = b) 4x² - 4 = 0; x1 = ; x2 =
c) -x² + 4 = 0; x1 = ; x2 = d) -4x² + 4 = 0; x1 = ; x2 =
e) 0,5x² - 2 = 0; x1 = ; x2 = f) 2x² - 2 = 0; x1 = ; x2 =
g) -0,5x² + 2 = 0; x1 = ; x2 = h) -2x² + 2 = 0; x1 = ; x2 =
i) x² = 0; x = j) 2x² = 0; x =
k) -x² = 0; x = l) -2x² = 0; x =
m) x² + 4 = 0 n) 4x² + 4 = 0
o) -0,5x² -2 = 0 p) -2x² -2 = 0

Versuche: 0


Aufgabe 5: Klick an, ob die Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen hat. Fünfzehn Gleichungen sind zuzuordnen.

Lösungen:

 x² < 0 

 x² = 0 

 x² > 0 

richtig: 0 | falsch: 0


Gemischt quadratische Gleichung

  • Gleichungen, die sowohl die Variable x als auch ihr Quadrat x² aufweisen, nennt man gemischt quadratische Gleichung.
  • Die Normalform einer gemischt quadratischen Gleichung ist x² + px + q = 0.
  • Die p,q-Formel p,q-Formel dient zur Lösung der Gleichung.
  • pq-Formel

Aufgabe 6: Trage die Werte der Koeffizienten p und q jeweils ein.

a) 
p = | q =
b) 
p = | q =
 
c) 
p = | q =
d) 
p = | q =


richtig 0falsch 0


Aufgabe 7: Löse die Gleichung mithilfe der p,q-Formel. Trage als x1 das Ergebnis ein, das durch das Addieren der Wurzel entsteht und als x2 den Wert, der durch das Subtrahieren der Wurzel zustandekommt.

  • p,q-Formel (plus)      p,q-Formel (plus)

a) 
x1 = | x2 =
b) 
x1 = | x2 =
 
c) 
x1 = | x2 =
d) 
x1 = | x2 =


richtig 0falsch 0


Aufgabe 8: Bringe zuerst die Gleichungen auf die Normalform. Berechne dann die Variablen. Trage als x1 das Ergebnis ein, das durch das Addieren der Wurzel entsteht und als x2 den Wert, der durch das Subtrahieren der Wurzel zustandekommt.

  • p,q-Formel (plus)      p,q-Formel (plus)

a) 
x1 = | x2 =
b) 
x1 = | x2 =
 
c) 
x1 = | x2 =
d) 
x1 = | x2 =


richtig 0falsch 0


Aufgabe 9: Forme die Gleichung zuerst um. Trage als x1 das Ergebnis ein, das durch das Addieren der Wurzel entsteht und als x2 den Wert, der durch das Subtrahieren der Wurzel zustandekommt.

  • p,q-Formel (plus)      p,q-Formel (plus)

a) 
x1 = | x2 =
b) 
x1 = | x2 =
 
c) 
x1 = | x2 =
d) 
x1 = | x2 =


richtig 0falsch 0


Aufgabe 10: Forme die Gleichung zuerst um. Trage als x1 das Ergebnis ein, das durch das Addieren der Wurzel entsteht und als x2 den Wert, der durch das Subtrahieren der Wurzel zustandekommt.

  • p,q-Formel (plus)      p,q-Formel (plus)

a) 
x1 = | x2 =
b) 
x1 = | x2 =
 
c) 
x1 = | x2 =
d) 
x1 = | x2 =


richtig 0falsch 0


Aufgabe 11: Löse die Klammer auf und trage die entsprechenden Beträge in die Textfelder unterhalb der Gleichung ein. Stelle die Gleichung anschließend in die Normalform um. Trage als x1 das Ergebnis ein, das durch das Addieren der Wurzel entsteht und als x2 den Wert, der durch das Subtrahieren der Wurzel zustandekommt.

  • p,q-Formel (plus)      p,q-Formel (plus)


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 12: Löse alle Klammern auf und trage die entsprechenden Beträge in die Textfelder unterhalb der Gleichung ein. Stelle die Gleichung anschließend in die Normalform um. Trage als x1 das Ergebnis ein, das durch das Addieren der Wurzel entsteht und als x2 den Wert, der durch das Subtrahieren der Wurzel zustandekommt.

  • p,q-Formel (plus)      p,q-Formel (plus)


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 13: Löse alle Klammern auf und trage die entsprechenden Beträge in die Textfelder unterhalb der Gleichung ein. Stelle die Gleichung anschließend in die Normalform um. Trage als x1 das Ergebnis ein, das durch das Addieren der Wurzel entsteht und als x2 den Wert, der durch das Subtrahieren der Wurzel zustandekommt.

  • p,q-Formel (plus)      p,q-Formel (plus)


richtig: 0falsch: 0

Info: Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung lässt sich durch den Term unterhalb der Wurzel bestimmen. Dieser Term heißt Diskriminante (D).

  • Diskriminante
  • D > 0 (positiv): Die Gleichung hat zwei Lösungen.
  • D = 0: Die Gleichung hat eine Lösung.
  • D < 0 (negativ): Die Gleichung hat keine Lösung.

Aufgabe 14: Klick an, ob die Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen hat. Zwölf Gleichungen sind zuzuordnen.

Lösungen:

 D < 0 

 D = 0 

 D > 0 

richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 15: Die Zahl x wird mit der Zahl (x + 1) multipliziert. Das Ergebnis ist .

x1 = ; x2 =


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 16: Zwei Zahlen unterscheiden sich um . Ihr Produkt ergibt . Die kleinere der beiden Zahlen ist x.

x1 = ; x2 =


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 17: Multipliziert man das Dreifache einer Zahl mit der um verkleinerten Zahl, so erhält man .

x1 = ; x2 =


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 18: Das Produkt aus einem Viertel einer Zahl und dem um vergrößerten Doppelten der Zahl ist .

x1 = ; x2 =


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 19: Ein rechteckiges Grundstück hat eine Fläche von m² und ist von einem langen Zaun umgeben. Wie lang und wie breit ist das Grundstück?

uR = 2a + 2b;   AR = a · b → aAR
b
 

Antwort: Das Grundstück hat eine Länge von Metern und eine Breite von Metern.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 20: Ein rechteckiges x m² großes Baugrundstück wird durch einen Zaun gesichert. Eine Seite ist x m länger als die andere. Wie viel Meter Zaun werden benötigt?

Hinweis: Die Länge eines Grundstücks kann nicht negativ sein.

 x x m
x m + x m

Antwort: Der Zaun ist Metern lang.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 21: Verkürzt man bei einem Quadrat zwei parallele Seiten um und verlängert die anderen beiden um , so entsteht ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von . Welchen Flächeninhalt hat das anfängliche Quadrat?

Hinweis: Die Länge eines Quadrates kann nicht negativ sein.

Antwort: Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von m².


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 22: Die Schüler einer Klasse erhalten den Auftrag ein Din A4 Blatt (210 mm x 297 mm) so zu einer Schale zu falten, dass die Grundfläche der Schale zwei Drittel des ursprünglichen Din A4 Blattes beträgt. Wie hoch ist der Rand der Schale (x)?

Din A4 Blatt

Antwort: Bei ganz genauem Falten wäre der Rand der Schale mm hoch.

Versuche: 0


Aufgabe 23: Die Grundseite c eines rechtwinkligen Dreiecks ist x cm länger als die zugehörige Höhe hc. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt x cm². Wie lang ist die Seite c?

Antwort: Die Seite c ist cm lang.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 24: Quadrat A und Quadrat B haben zusammen einen Flächeninhalt von und x + y = . Welche Flächeninhalte haben die zwei Quadrate?

Das kleine Quadrat A hat einen Flächeninhalt von cm2 und das große Quadrat B einen von cm2.


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 25: Auf einen Platz mit einer Länge von 50 Metern und einer Breite von 20 Metern soll eine Gärtnerei vier Blumenbeete anlegen. 90 % der Platzfläche stehen für die Beete zur Verfügung, 10 % teilen sich zwei mittig verlaufende, gleich breite Wege. Wie groß ist die Breite x der Wege? Runde auf Zentimeter.

Blumenbeet

Antwort: Die Wege sind  m breit.

Versuche: 0


Aufgabe 26: Die Zahl wird so in zwei Summanden zerlegt, dass deren Produkt beträgt. Trage die Ergebnisse so ein, dass x1 größer als x2 ist.

x1 = | x2 =

Eintrag: x1 > x2


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 27: Trage die fehlenden Werte der Funktionsgleichungen ein, mit denen die Parabeln der Springseile beschrieben werden.

Springseil

A: y = ()²     B: y = -(

Versuche: 0


Aufgabe 28: Ergänze die Funktionsgleichungen so, dass sie zu den Graphen passen.

gemischt quadratische Gleichungen

a) y =

b) y =

c) y =

d) y =

e) y =

f) y =

g) y =

h) y =

i) y =

Versuche: 0


Aufgabe 29: Die Stützpfeiler der Golden Gate Bridge ragen ca 160 Meter über die Fahrbahn hinaus. Das Tragseil dazwischen wird annähernd durch die Funktion y = 0,00039x² beschrieben. Wie groß ist die Spannweite zwischen den Pfeilern? Runde auf 10 Meter.

Quadratische Funktion

Antwort: Die Spannweite beträgt 0 m.

Versuche: 0


Aufgabe 30: Unten siehst du die Flugbahnen unterschiedlich hart geschlagener Golfbälle. Trage die entsprechende Flugweite ein.

Funktionen (quadratische)

Antwort: a) m;   b) m;   c) m

Versuche: 0


Aufgabe 31: 

Marko macht beim Fußball einen Einwurf. Die Flugbahn wird annähernd mit folgender Funktion beschrieben: y = -0,125x² + x + 2,2.
a) Wie weit fliegt der Ball, bis er auf dem Boden aufprallt?
b) In welcher Höhe wirft Marko den Ball ab?

Ballwurf

Antwort:  a) Der Ball fliegt m weit. (Runde auf cm)
b) Der Ball verlässt in einer Höhe von m Markos Hände.

Versuche: 0


Aufgabe 32: 

Jens spritzt mit seiner Wasserpistole aus 1,40 m Höhe in verschiedenen Winkeln und in unterschiedlich starker Intensität. Der jeweilige Wasserstrahl hat die Form folgender Parabel:

A: y = -0,5x² + 0,5x + 1,4
B: y = -0,25x² + 0,8x + 1,4
C: y = -0,2x² + 1,1x + 1,4

Trage auf den Zentimeter genau ein, in welcher Entfernung der jeweilige Strahl auf dem Boden auftrifft (2 Nachkommastellen).

gemischt quadratische Gleichung

Antwort: Strahl A spritzt m, Strahl B m und Strahl C m weit.

Versuche: 0


Aufgabe 33: Bestimme die beiden Nullstellen und den Schnitt mit der y-Achse der folgenden Funktionen. Trage bei den Nullstellen den größeren Wert bei x1 ein.

a) 

Nullstellen: x1 = | x2 =

Schnitt mit y-Achse: y =


b) 

Nullstellen: x1 = | x2 =

Schnitt mit y-Achse: y =


c) 

Nullstellen: x1 = | x2 =

Schnitt mit y-Achse: y =


d) 

Nullstellen: x1 = | x2 =

Schnitt mit y-Achse: y =

Eintrag: x1 > x2


richtig 0falsch 0


Aufgabe 34: Bestimme die beiden Nullstellen der folgenden Funktionen. Die Stellen, an denen der Graph die x-Achse berührt. Trage den größeren Wert bei x1 ein.

Eintrag: x1 > x2


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 35: Berechne jeweils den Schnittpunkt der beiden Funktionen.

a)
y = x²
y = 0,5x + 3
Gleichungen Schnittpunkte
S1(|)
S2(|)

Versuche: 0

b)
y = x² - 4
y = x + 2
Gleichungen Schnittpunkte
S1(|)
S2(|)

Versuche: 0

c)
y = -2x² - 3x + 2
y = -2x - 1
Gleichungen Schnittpunkte
S1(|)
S2(|)

Versuche: 0


Aufgabe 36: Trage unten die Schnittpunkte der beiden Funktionen ein. Rechne immer mit allen Nachkommastellen. Runde erst zum Schluss auf eine Nachkommastelle.

S1(|)   S2(|)

Runde auf Zehntel


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 37: Der Bogen der abgebildeten Brücke kann durch die Funktionsgleichung y = -0,05 · (x - 10)2 + 20 beschrieben werden.

a)  Wie lang ist der Abstand zwischen Punkt A und Punkt B.
b)  Wie lang ist die Strecke a?

Eine Längeneinheit entspricht 1 m.

a)  Der Abstand zwischen Punkt A und Punkt B beträgt Meter.
b)  Die Strecke a ist Meter lang.

Versuche: 0