Pyramide

Eine Pyramide ist ein Körper, der aus einem Vieleck (Drei-, Vier-, Fünfeck ...) und mehreren Dreiecken besteht. Das Vieleck bildet die Grundfläche (unten das blaue Rechteck) und die Dreiecke die Mantelfläche der Pyramide.

Aufgabe 1: Ziehe an den orangen Gleitern der Grafik und beobachte, wie sich die Pyramide und das Pyramidenetz verändern.


Formeln

Die untere Tabelle gibt an, wie Oberfläche und Volumen der Pyramide berechnet werden. Grundsätzlich gilt:

  • Oberfläche = Grundfläche + Mantelfläche
  • Volumen = Grundfläche · Pyramidenhöhe : 3

Generell ist darauf zu achten, dass mit unterschiedlichen Höhenangaben gerechnet wird. Für die Berechnung der Oberfläche wird die Höhe der schrägliegenden Seitendreiecke benötigt (Grafik unten: ha; hb). Für die Berechnung des Volumens wird die Höhe der Pyramide benutzt (Grafik unten: h).


rechteckige Grundfläche quadratische Grundfläche
Oberfläche = Grundfläche + Mantelfläche
OP = AG + AM
OP = a · b + a · ha + b · hb OP = + a · ha · 2
 
Volumen = Grundfläche · h : 3
VP = AG · h : 3
VP = a · b · h : 3 VP = · h : 3


Volumen

Aufgabe 2: Trage das Volumen der Pyramide unten ein.

Maße in cm

V = cm³


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 3: Trage das Volumen der Pyramide mit der dargestellten Grundfläche und einer Körperhöhe von 6,9 cm ein.

Grundflächen von Pyramiden

Antwort: Va =  cm³;  Vb =  cm³;  Vc =  cm³;

Versuche: 0


Aufgabe 4: Trage das Volumen der Doppelpyramide ein.

Doppelpyramide

Antwort: Die Doppelpyramide hat ein Volumen von  cm³.

Versuche: 0


Aufgabe 5: Trage das Volumen des folgenden Werkstücks (Würfel mit pyramidenförmiger Aushöhlung) ein. (Die gerundeten Nachkommastellen sind vorgegeben!)

Würfel mit pyramidenförmiger Aushöhlung

Antwort: Der ausgehöhlte Würfel hat ein Volumen von ,92 dm³

Versuche: 0


Aufgabe 6: Gestalte mit Hilfe der orangen Gleiter eine quadratische Pyramide mit einem Volumen von cm³. Die roten Linien markieren Höhe und Breite. Sinnvoll einstellbar sind als Breite 4, 8, 12 und 16 cm. Als Höhe sind 3 bis 15 cm möglich.

Keine Kavaliersperspektive

Kästchenlänge: 1 cm


richtig: 0 | falsch: 0


Oberfläche

Aufgabe 7: Trage Grundfläche, Mantelfläche und Oberfläche der Pyramiden ein.

Pyramidennetze

a) b)
Grundfläche  cm²  cm²
Mantelfläche  cm²  cm²
Oberfläche  cm²  cm²

Versuche: 0


Aufgabe 8: Trage die Oberfläche der quadratischen Pyramide unten ein.

Maße in cm

O = cm²


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 9: Trage die Oberfläche der folgenden Pyramide unten ein.

Pyramide

Antwort: Die Pyramide hat eine Oberfläche von cm².

Versuche: 0


Aufgabe 10: Berechne die fehlenden Werte der quadratischen Pyramiden.

a) AG = cm² AM = cm² O =  cm²
b) AG = cm² AM = cm² O =  cm²
c) a = cm hDreieck = cm O =  cm²
d) a = cm hDreieck = cm O =  cm²

AG: Grundfläche; AM: Mantelfläche; O: Oberfläche


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 11: Gestalte mit Hilfe der orangen Gleiter ein Pyramidennetz mit einer Oberfläche von cm².

Kästchenlänge: 1 cm


richtig: 0 | falsch: 0


Gemischte Größen

Aufgabe 12: Trage Volumen und Oberfläche der Pyramiden ein. Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.

Grundkante a  cm  dm  m
Dreieckshöhe ha  cm  dm  m
Pyramidenhöhe hP  cm  dm  m
Volumen V  cm³  dm³  m³
Oberfläche O  cm²  dm²  m²


richtig: 0falsch 0


Aufgabe 13: Trage die fehlenden Größen der Pyramiden ein.

Grundkante a  cm  dm  m  m
Grundkante b  cm  dm  m  m
Pyramidenhöhe h  cm  dm  m  m
Volumen V  cm³  dm³  m³  m³


richtig: 0falsch 0


Aufgabe 14: Das Volumen einer quadratischen Pyramide beträgt 38,22 cm³. Eine Seite der Grundfläche ist 4,2 cm lang. Welche Höhe hat die Pyramide?

Antwort: Die Pyramide hat eine Höhe von  cm.

Versuche: 0


Satz des Pythagoras

Aufgabe 15: Klick unten auf "Auto" und du kannst erkennen, wo in einer Pyramide u.a. rechtwinklige Dreiecke vorhanden sind, deren Seiten durch den Satz des Pythagoras zu ermitteln sind. Mit den Pfeil-Buttons kannst du von Bild zu Bild navigieren.

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Aufgabe 16: Betrachte die beiden Grafiken und finde heraus, welche Größe unten gesucht wird. Trage sie ein.

Pyramidenberechnung
a = Seitenlänge; hP = Pyramidenhöhe; hD = Höhe des Manteldreiecks

Antwort:   = 

Versuche: 0


Aufgabe 17: Berechne die Oberfläche der folgenden Pyramide. Beachte die Größenangaben. Runde auf ganze dm².

Maße in cm

O = dm²


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 18: 

a) Ermittle die Höhe des Seitendreiecks mithilfe des Satzes von Pythagoras.

b) Berechne die Oberfläche der Pyramide.

c) Rechne die Höhe der Pyramide aus. (Die gerundeten Nachkommastellen sind vorgegeben!)

d) Berechne das Volumen der Pyramide. (Die gerundeten Nachkommastellen sind vorgegeben!)

Pyramidennetz

Antwort:

a) Die Höhe des Seitendreiecks beträgt cm.

b) Die Pyramide hat eine Oberfläche von cm².

c) Die Höhe der Pyramide ist ,94 cm.

d) Die Pyramide hat ein Volumen von ,22 cm³.

Versuche: 0


Aufgabe 19: Berechne das Volumen der folgenden Pyramide. Beachte die Größenangaben. Runde auf ganze dm³.

Maße in cm

V = dm³


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 20: Berechne mit den vorhandenen Angaben verschiedener quadratischer Pyramiden die folgenden Größen.

a hP hs AG AM O V
 cm  cm  cm 576 cm² 1776 cm²  cm²  cm³
 cm  cm  cm 1024 cm²  cm² 3200 cm²  cm³
 cm  cm  cm 12544 cm²  cm²  cm² 376320 cm³

Versuche: 0


Aufgabe 21: Trage die Länge der Diagonale (d) und die Pyramidenhöhe (h) ein.

Pyramide; Pythagoras
Angaben in cm

Antwort: 

a) Die Länge der Diagonale beträgt cm.

b) Die Pyramide hat eine Höhe von cm.

Versuche: 0


Aufgabe 22: Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide (inkl. Quader) und des halb so hohen Quaders.

Pyramide um Quader

Antwort: VPyramide =  cm³; VQuader =  cm³

Versuche: 0


Aufgabe 23: Trage die fehlenden ganzzahligen Werte für die gesuchten Strecken einer quadratischen Pyramide ein. Hier muss der Satz des Pythagoras einige Male angewendet werden.

Hinweis:

Pyramide; Pythagoras

a s h hs
a) 16 cm cm ,7 cm 15 cm
b) 48 dm 74 dm ,8 dm dm
c) mm 65 mm ,2 mm 56 mm
d) ,6 cm 53 cm 45 cm ,2 cm

Versuche: 0


Aufgabe 24: Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante (a) 10 cm und die Höhe (h) 12 cm. In diese Pyramide ist ein Dreieck schräg eingelagert.

  • Dreieckspunkt A berührt die untere, linke Spitze.
  • Dreieckspunkt B berührt die Mitte der rechten Grundkante.
  • Dreieckspunkt C berührt die Mitte der vorderen, rechten Seitenkante.

    Trage den Umfang des Dreiecks ein. Runde auf ganze Zentimeter.

Antwort: Das Dreieck hat einen Umfang von  cm.

Versuche: 0


Sachaufgaben

Aufgabe 25:

Ein pyramidenartiges Zelt mit rechteckiger Grundfläche ist 2,60 m lang, 2,00 m breit und 3 m hoch.

 a) Gib das Volumen des Zeltes an.

 b) Aus wie viel m² Zeltplane (ohne Boden) besteht das Zelt? (Die gerundeten Nachkommastellen sind vorgegeben!)

Antwort:

 a) Das Zelt hat ein Volumen von m³.

 b) Es besteht aus ,76 m² Zeltplane (ohne Boden).

Versuche: 0


Cheopspyramide
Cheops Pyramide
von: Berthold Werner
Lizenz: CC BY-SA 3.0
Original: Hier
Aufgabe 26: Die Cheopspyramide hat eine quadratische Grundfläche. Nach ihrer Fertigstellung hatte sie eine Seitenlänge von 440 Königsellen (1 Königselle ≈ 52,3 cm) und eine Höhe von 280 Königsellen. Trage unten das ganzzahlige Volumen der Pyramide in Kubik-Königsellen ein.

Antwort: Die Pyramide hatte ein Volumen von ,33  Königsellen³.

Versuche: 0


Aufgabe 27: Moderne Lang-Lkw (Gigaliner) können bis zu 25,25 m lang sein und weisen ein Ladevolumen von 157 m³ auf. Die "Königselle" ist in Aufgabe 26 mit 52,3 cm angegeben. Wie viele Gigaliner wären nötig, um bei diesem Umrechnungswert das Volumen der ursprünglichen Pyramide aus Aufgabe 26 abzutransportieren? Runde auf Hunderter.

Lang-Lkw
A-Train
von: Tobias Fleischmann
Lizenz: public domain
Original: Hier

Antwort: Um das Volumen der ursprünglichen Pyramide abzutransportieren, wären Gigaliner notwendig.

Versuche: 0


Aufgabe 28: Ein Kirchturmdach hat die Form einer quadratischen Pyramide. Die Seiten der Grundfläche haben eine Länge von 3,20 m. Die Pyramidenspitze befindet sich 6,30 m über der Grundfläche. Berechne die Dachfläche des Kirchturms.

Antwort: Der Kirchturm hat eine Dachfläche von  m²

Versuche: 0


Aufgabe 29: Eine quadratische Pyramide aus Kupfer (Dichte = 8,92 g/cm³) hat eine Grundseite von 2,5 cm und wiegt 44,6 g. Wie hoch ist die Pyramide?

Antwort: Die Pyramide hat eine Höhe von  cm.

Versuche: 0


Aufgabe 30: Ein Werkstück aus Messing (Dichte = 8,5 g/cm³) besteht aus einer quadratischen Pyramide mir einer zylinderförmigen Vertiefung. Berechne Oberfläche, Volumen und Gewicht. Trage den ganzzahligen Wert des gerundeten Ergebnisses ein.

Pyramide mit Zylinderloch

Antwort: Oberfläche = ,8 cm²; Volumen = ,0 cm³; Gewicht = ,3 g

Versuche: 0