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Quadratische Funktion

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Aufgabe 1: Trage die richtigen Begriffe ein.

Merke dir bitte:
  • Quadratische Funktionen haben eine quadrierte Variable (x²).
  • Die einfachste (tschiraquade) Funktion hat die Gleichung y = x².
  • Ihr Graph heißt (paraNormablle).
  • Die Normalparabel verläuft symmetrisch zu der Achse, durch die das (Minumim) verläuft.
  • Sie ist nach (bone) hin geöffnet.
  • Den tiefsten Punkt der Parabel nennt man (eitelSchpunkt).

Versuche: 0


Normalparabel (y = x²)

Die Daten sind gerundet.

Aufgabe 2: Bewege den orangen Gleiter der Parabel auf die aufgeführten x-Punkte der Parabel. Trage die entsprechenden y-Werte in die Tabelle ein.

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = x²

Versuche: 0


Aufgabe 3: Trage die richtigen y-Werte in die Tabelle ein.

x -6 -5 -4 ··· 4 5 6
y = x² ···

Versuche: 0


Aufgabe 4: Berechne die fehlenden Koordinaten der Normalparabel und trage sie ein.

A(  |  );   B(  |  );   C(   |   );   D(   |   )


richtig: 0falsch: 0


Parabelform y = ax²
Veränderte Parabelöffnung - Streckfaktor

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Aufgabe 5: Ziehe den Regler der Grafik und beobachte die Veränderungen der Parabel. Klick anschließend die richtigen Begriffe an.

Merke dir bitte:

Multiplizert man x² mit einem Faktor (a), dann verändert sich die Öffnung der Parabel.

  • Ist a positiv, dann zeigt die Öffnung nach .
  • Ist a negativ, dann zeigt die Öffnung nach .
  • Ist der Abstand zum Nullpunkt (Betrag) von a größer als 1, dann ist die Parabel als die Normalparabel.
  • Ist der Betrag von a kleiner als 1, dann ist die Parabel als die Normalparabel.

Versuche: 0


Aufgabe 6: Ergänze die Funktionsgleichungen so, dass sie zu den dazugehörigen Aussagen passen.

a) Die Parabelöffnung zeigt nach oben: y = x².

b) Die Parabelöffnung zeigt nach unten: y = x².

c) Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel: y = x².

d) Die Parabel ist breiter als die Normalparabel: y = x².


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 7: Ergänze die Funktionsgleichungen so, dass sie zu den dazugehörigen Aussagen passen.

a) Parabelöffnung oben und schmaler als die Normalparabel: y = x².

b) Parabelöffnung oben und breiter als die Normalparabel: y = x².

c) Parabelöffnung unten und schmaler als die Normalparabel: y = x².

d) Parabelöffnung unten und breiter als die Normalparabel: y = x².


richtig: 0 | falsch: 0


Aufgabe 8: Klick die richtigen Funktionsgleichungen an.

a) 

x -2 -1 0 1 2
y 2 0,5 0 0,5 2

b) 

x -2 -1 0 1 2
y -4 -1 0 -1 -4

c) 

x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4

d) 

x -2 -1 0 1 2
y -2 -0,5 0 -0,5 -2


Versuche: 0


Aufgabe 9: Ordne den Funktionsgleichungen die richtigen Parabeln zu.

Quadratische Funktionen

Bestimmung einer Funktionsgleichung

Mit den Koordinaten eines Punktes, der auf einer Parabel der Form y = ax2 liegt, lässt sich der Faktor a berechnen. Dafür werden die Koordinaten in die Formel eingesetzt, die dann nach a hin aufgelöst wird.

Beispiel:

P(3,18) liegt auf der Parabel 

y = ax2
• Koordinaten einsetzen 18 = a · 32
• Nach a hin auflösen
a =  18
32
a = 2
• Funktionsgleichung: y = 2x2

Aufgabe 10: Die Parabel einer quadratischen Funktion der Form y = ax2 führt durch den Punkt P(  ). Trage den Faktor der Funktion unten ein.

Funktionsgleichung: y = x 2


richtig: 0falsch: 0


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Aufgabe 11: Eine 6 Meter hohe Brücke hat einen parabelförmigen Bogen. Ihre Spannweite beträgt 40 Meter. Trage den Faktor a in die Funktion ein.

Antwort: Die zum Bogen gehörende Funktionsgleichung lautet: y = x².

Versuche: 0


Parabelform y = ax² + c
Vertikale Parabelverschiebung

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Aufgabe 12: Ziehe den Regler c der Grafik und beobachte die Veränderungen der Parabel. Klick anschließend die richtigen Begriffe an.

Merke dir bitte:

Eine Parabel der Form ax² + c ist in vertikaler Richtung verschoben.

  • Ist c positiv, dann verschiebt sich die Parabel nach .
  • Ist c negativ, dann verschiebt sich die Parabel nach .
  • Der Scheitel ist S( |).

Versuche: 0


Aufgabe 13: Ziehe die Begriffe an die richtige Stelle.

Verglichen mit der Normalparabel
ist die Öffnung
dieser Parabel ...
(breiter | schmaler)
befindet sich diese
Parabel weiter ...
(oben | unten)
a) y = -½x² + 2,5
b) y = 4x² - 1,5
c) y = -½x² - 3
d) y = -3x²+ 1,5
e) y = -3x² - 2
f) y = ¾x² + 3
g) y = 4x² + 2
h) y = ¾x² - 2,5

Versuche: 0


Aufgabe 14: Ergänze die Funktionsgleichungen so, dass sie zu den Parabeln passen.

Quadratische Funktionen

a) y =  b) y = 
c) y =  d) y = 

Versuche: 0


Aufgabe 15: Berechne y und trage es ein.

a) Formel
x = 0
y = 
b) Formel
x = 0
y = 
c) Formel
x = 0
y = 
 
d) Formel
x = 0
y = 
e) Formel
x = 0
y = 
f) Formel
x = 0
y = 


richtig: 0falsch: 0


Nullstellen der Funktion y = ax² + c
Parabelschnittpunkte mit der x-Achse

Die Nullstellen der Funktion befinden sich dort, wo die Parabel die x-Achse schneidet. An diesen Stellen ist der y-Wert Null.

Aufgabe 16: Bewege die beiden Gleiter der Grafik und beobachte, in welchem Verhältnis a und c sich zueinander befinden müssen, damit die Parabel die Nullstelle (y = 0) schneidet. Ordne anschließend die folgenden Aussagen richtig zu.



Aufgabe 17: Stelle in der Grafik der vorherigen Aufgabe die folgenden Funktionen ein. Lies die entsprechenden Nullstellen ab und trage die Werte ohne Vorzeichen ein.

a)  y = x² - 1
y = 0
x1 = ; x2 = -
b)  y = 0,4x² - 3,6
y = 0
x1 = ; x2 = -
c)  y = ½x² - 2
y = 0
x1 = ; x2 = -
 
d)  y = -3x² + 3
y = 0
x1 = ; x2 = -
e)  y = 4x² - 1
y = 0
x1 = ; x2 = -
f)  y = -0,1x² + 2,5
y = 0
x1 = ; x2 = -

Versuche: 0


Aufgabe 18: Trage unten die Nullstellen der Funktion ein.

y = x2 - 3

x1 = | x2 = - 


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 19: Ordne zu, ob die Parabeln unten keine, eine oder zwei Nullstellen haben.

Parabeln von quadratischen Funktionen

a) b)

Parabelform y = a(x + b)² + c
Vertikale und horizontale Parabelverschiebung

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Aufgabe 20: Ziehe den Regler b der Grafik und beobachte die Veränderungen der Parabel. Klick anschließend die fehlenden Begriffe an.

Merke dir bitte:

Bei einer Parabel der Form a(x + b)² + c beeinflusst b die horizontale Ausrichtung des Graphen.

  • Je größer b wird, desto mehr verschiebt sich die Parabel nach .
  • Je kleiner b wird, desto mehr verschiebt sich die Parabel nach .
  • Ihr Scheitel ist S(|).

Versuche: 0


Aufgabe 21: Trage den Scheitelpunkt der Parabeln ein.

a) y =  Sa(|)
b) y =  Sb(|)
c) y =  Sc(|)
d) y =  Sd(|)


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 22: Vervollständige die Funktionsgleichungen der verschobenen Normalparabeln.

a) y = (x Sa()
b) y = (x Sb()
c) y = (x Sc()
d) y = (x Sd()


richtig: 0falsch: 0


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Aufgabe 23: Ordne die Begriffe richtig zu.

Wiederhole bitte die gelernten Abhängigkeiten: y = a(x + b)² + c
  • Ist der Streckfaktor a positiv, dann zeigt die Parabelöffnung nach  .
  • Ist der Streckfaktor a negativ, dann zeigt die Parabelöffnung nach  .
  • Ist der Abstand zum Nullpunkt (Betrag) von a größer als 1, dann ist die Parabel   als die Normalparabel.
  • Ist der Abstand zum Nullpunkt (Betrag) von a kleiner als 1, dann ist die Parabel   als die Normalparabel.
  • Ist b positiv, verschiebt sich die Parabel nach  .
  • Ist b negativ, verschiebt sich die Parabel nach  .
  • Ist c positiv, verschiebt sich die Parabel nach  .
  • Ist c negativ, verschiebt sich die Parabel nach  .
breiter links oben oben rechts schmaler unten unten


Versuche: 0


Aufgabe 24: Ordne den Funktionsgleichungen die richtigen Parabeln zu.

Quadratische Funktionen

Aufgabe 25: Die abgebildete Parabel wird gespiegelt. Trage die Funktionsgleichungen der gespiegelten Parabeln ein.

Funktion:

a)  Spiegelung an der x-Achse:
Funktion: y = (x)2

b)  Spiegelung an der y-Achse:
Funktion: y = (x)2

c)  Spiegelung an x- und y-Achse:
Funktion: y = (x)2


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 26: Die abgebildete Parabel wird an den farbigen Achsen gespiegelt. Trage die Funktionsgleichungen der gespiegelten Parabeln ein.

Funktion:

a)  Spiegelung an blauer Achse:
Funktion: y = (x)2

b)  Spiegelung an grüner Achse:
Funktion: y = (x)2

c)  Spiegelung an blauer und grüner Achse:
Funktion: y = (x)2


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 27: Die Gleichung einer Parabel (y = a(x + b)2 + c) mit dem Scheitel S() geht durch den Punkt P(). Bestimme den Streckfaktor a.

a =


richtig: 0falsch: 0


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Aufgabe 28: Wandle den Term in die Scheitelpunktform um und gib die Koordinaten des Scheitelpunktes an.

y = x2 - 6x + 10

y = x2 - 2 · x + 10

y = x2 - 2 · x + +

y = (x - )2+

S(|)


richtig: 0falsch: 0


Aus der allgemeinen Form einer Parabel kann der Scheitelpunkt nicht abgelesen werden. Um das zu ermöglichen, kann man auch folgendermaßen vorgehen:

Gegeben ist die grüne Parabel y = x2 - 3x + 4. Sie wird um - 4 in y-Richtung verschoben, um durch den Ursprung zu laufen. Der Scheitelpunkt der neuen (roten) Parabel y = x2 - 3x und der Scheitelpunkt der grünen Parabel verlaufen durch die gleiche x-Koordinate. Um die Nullstellen der roten Parabel rechnerisch zu bestimmen, klammert man aus: y = x2 - 3x = x · (x - 3). Das Ergebnis einer Multiplikation ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Die Nullstellen der roten Parabel befinden sich demnach auf x = 0 und (x - 3) = 0 also x = 3. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes der roten Parabel befindet sich in der Mitte der beiden Nullpunkte, also bei (0 + 3) : 2 = 1,5. Somit liegt auch die x-Koordinate des Scheitelpunktes der grünen Parabel bei 1,5. Um die y-Koordinate des Scheitelpunktes der grünen Parabel zu ermitteln, wird jetzt der Wert der x-Koordinate in die entsprechende Formel eingesetzt und die Gleichung berechnet: y = 1,52 - 3 · 1,5 + 4 = 1,75. Der Scheitelpunkt der grünen Parabel liegt bei S(1,5|1,75).


Aufgabe 29: Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes der folgenden Funktion nach dem oben angegebenen Muster.

Funktion:

S(|)


richtig: 0falsch: 0


Funktionsgleichung einer Normalparabel aus zwei Punkten bestimmen.

Sind zwei Punkte einer Parabel der Form y = x² + ax + c bekannt, lässt sich Funktionsgleichung folgendermaßen erschließen.

  • Die Koordinaten der beiden Punkte in die Normalform einsetzen
  • Berechnen von a und c mithilfe eines linearen Gleichungssystems »
  • Funktionsgleichung ermitteln

Die Punkte P(-6|11) und Q(2|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.


P(-6|11) (I) 11 = (-6)2 + a · (-6) + c
Q(2|3) (II) 3 = 22 + a · 2 + c | · (-1)
(I') 11=36 - 6a + c
(II') -3 = -4 - 2a - c
(I' + II') 8 = 32 - 8a | - 32
-24 = -8a | : (-8)
3 = a
(a in II) 3 = 22 + 3 · 2 + c
3 = 10 + c | - 10
-7 = c
Funktionsgleichung: y = x2 + 3x - 7

Aufgabe 30: Die Punkte P(|) und Q(|) liegen auf einer verschobenen Normalparabel. Trage unten die fehlenden Werte der dazugehörigen Funktionsgleichung ein.

y = x2 x


richtig: 0falsch: 0


Aufgabe 31: Die Punkte A(-3|19) und B(3|7) liegen gleichzeitig auf der verschobenen Normalparabel f und der Geraden g ». Trage die fehlenden Größen der beiden Funktionsgleichungen unten ein.

f) y = x2 x  |  g) y = x

Versuche: 0


Aufgabe 32: Trage unten die maximale Flughöhe des Skateboards ein.

Die maximale Flughöhe beträgt  m.

Versuche: 0


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Anschauungssparabel