Logarithmus

Wenn von einer Potenz nicht der Potenzwert, sondern die Basis gesucht wird, dann erlangt man das Ergebnis über das Wurzelziehen. Der Logarithmus gibt an, mit welchem Exponenten man eine Basis potenzieren muss um einen bestimmten Wert zu erreichen.

	Aufgabe	gesucht	Rechnung	Ergebnis
a)	2³ = a	Potenzwert	2³ = 8	Potenzwert
b)	b³ = 8	Basis	= 2	Wurzel
c)	2^x = 8	Exponent	log₂ 8 = 3	Logarithmus
Allgemein:
	b^x = a		log_b a = x
(a, b > 0 und b ≠ 1)

Sprich: x ist Logarithmus von a zur Basis b

Begriffe:

Beispiel:

log₂ 8 = 3

; denn 2³ = 8

log₁₀ 100 = 2

; denn 10² = 100

log₃ 81 = 4

; denn 3⁴ = 81

log₅	1	= -2
	25

; denn 5^-2 =	1	=	1
	5²		25

log₆ 1 = 0

; denn 6⁰ = 1

; denn

Aufgabe 1: Trage Basis, Numerus und Logarithmus richtig ein.

a) → log = b) → log =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 2: Trage den Logarithmus ein.

a) = b) =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 3: Trage den Logarithmus ein.

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 4: Ergänze den Logarithmus.

a) log₄ 2 =	1	b) log₂₇ 3 =	1	c) log₁₆ 2 =	1

Versuche: 0

Aufgabe 5: Ergänze den Logarithmus.

log₂ 2√2 =

log₃ 2√3 =

log₂ 3√2 =

log₃ 3√3 =

log_a 2√a =

log_b 3√b =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 6: Trage den Numerus ein.

a) log b) log

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 7: Trage den Numerus ein.

a) log₉ =	1	b) log₁₂₅ =	1
	2		3

c) log₁₆ =	1	d) log₈ =	2
	4		3

Versuche: 0

Aufgabe 8: Ergänze den Numerus.

a) log₂	1	=	b) log	1	=

c) log	1	= -2	d) log₁₀	1	=

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 9: Trage die Basis ein.

a) log b) log

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 10: Trage die Basis ein.

a) log 5 = 1	b) log 2 = 1
c) log 7 = 1	d) log 8 = 1

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 11: Trage die Basis ein.

a) log √ =	1	b) log √ =	1

c) log √ =	1	d) log √ =	1

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 12: Trage die Basis ein.

a) log √ =	1	b) log √ =	1

c) log √ =	1	d) log √ =	1

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 13: Ergänze die Basis.

a) log	₁	64 = -2	b) log	₁	49 = -2


c) log	₁	27 = -3	d) log	₁	16 = -4

Versuche: 0

Aufgabe 14: Ergänze die Basis.

a) log₂ ( ) =	b) log₃ ( ) =
c) log ( +-) = 2	d) log₁₀ ( +-) = 3-6

richtig: 0falsch: 0

Basiswechsel

Dividiert man den Zähler eines Bruches durch den Teiler 1, bleibt sein Wert erhalten. Dieser Wert verändert sich ebenfalls nicht, wenn Zähler und Teiler proportional vergrößert oder verkleinert werden. Im Beispiel wird der Logarithmus von 256 zur Basis 16 geteilt durch den Logarithmus von 16 zur Basis 16 - also durch 1. Der Wert des Bruchs ist genauso groß wie der Wert des Logarithmus. Gibt man dem Logarithmus im Zähler und im Nenner eine andere Basis (z.B. 4, 2, 10...) dann verändern sich Zähler und Nenner proportional. Das Ergebnis des Bruches bleibt somit gleich. Diesen Umstand nutzt man, um mit dem Taschenrechner den Logarithmus auszurechnen.

log₁₆ 256 = 2

→

log₁₆ 16 = 1

→

log₁₆ 256	= 2
log₁₆ 16

log₄ 256 = 4

→

log₄ 16 = 2

→

log₄ 256	= 2
log₄ 16

log₂ 256 = 8

→

log₂ 16 = 4

→

log₂ 256	= 2
log₂ 16

log₁₀ 256 = 2,4...

→

log₁₀ 16 = 1,2...

→

log₁₀ 256	= 2
log₁₀ 16

log₁₆ 256 =	log₁₀ 256	= 2
	log₁₀ 16

Da der Taschenrechner keinen Logarithmus zur Basis 16 angibt, kann man sich mit dem Logarithmus zur Basis 10 aushelfen, indem der Logarithmus von 256 zur Basis 10 durch den Logarithmus von 16 zur Basis 10 geteilt wird. Grundsätzlich kann also der Logarithmus von x zur Basis a bestimmt werden, indem der Logarithmus von x zur Basis 10 durch den Logarithmus von a zur Basis 10 geteilt wird.

log_a (x) =	lg (x)
	lg (a)

lg = Logarithmus zur Basis 10

Aufgabe 15: Berechne den Logarithmus auf drei Nachkommastellen gerundet.

log =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 16: Berechne den Logarithmus auf drei Nachkommastellen gerundet.

log =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 17: Berechne den Logarithmus auf drei Nachkommastellen gerundet.

log √ =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 18: Berechne das Ergebnis auf drei Nachkommastellen gerundet.

log		=

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 19: Berechne das Ergebnis auf drei Nachkommastellen gerundet.

(log )² + log =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 20: Berechne das Ergebnis auf drei Nachkommastellen gerundet.

· log =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 21: Berechne das Ergebnis auf drei Nachkommastellen gerundet.

	=
log

richtig: 0falsch: 0

Logarithmengesetze
für u>0, v>0, x>0, a>0, a ≠ 1

Ein Produkt wird logarithmiert, indem man die einzelnen Faktoren logarithmiert und die Ergebnisse addiert.
log_a (u · v) = log_a (u) + log_a (v)
Ein Bruch wird logarithmiert, indem man die einzelnen Faktoren logarithmiert und die Ergebnisse subtrahiert.

log_a _u = log_a (u) - log_a (v)

^v
Eine Potenz wird logarithmiert, indem man die Basis logarithmiert und das Ergebnis mit dem Exponenten multipliziert.
log_a (u^t) = t · log_a (u)

Aufgabe 22: Ordne die richtigen Terme zu.

a) log_a (x · y) =	b) log_a x y =
c) log_a v w =	d) log_a (v · w) =

log_a v + log_a w log_a v - log_a w log_a x + log_a y log_a x - log_a y

Versuche: 000

Aufgabe 23: Ordne die richtigen Terme zu.

a) log_a (x · y · z) =

b) log_a

xy z

c) log_a

x yz

d) log_a (x · (y + z)) =

log_a x + log_a y - log_a z log_a x + log_a y + log_a z log_a x + log_a (y + z) log_a x - log_a y - log_a z

Versuche: 000

Aufgabe 24: Ordne die richtigen Terme zu.

a) log_a ((v + w) · (x - y)) =

b) log_a

vw xy

c) log_a

vwx y

d) log_a

v + w x - y

log_a (v + w) - log_a (x - y) log_a (v + w) + log_a (x - y) log_a v + log_a w + log_a x - log_a y log_a v + log_a w - log_a x - log_a y

Versuche: 000

Aufgabe 25: Ordne die richtigen Terme zu.

a) log_a

x(r + s) yz

b) log_a

xy z(r + s)

c) log_a

1 xyz(r + s)

- log_a x - log_a y - log_a z - log_a (r + s) log_a x + log_a y - log_a z - log_a (r + s) log_a x + log_a (r + s) - log_a y - log_a z

Versuche: 000

Aufgabe 26: Ordne die richtigen Terme zu.

a) log_a x² =	b) log_a x⁴ =
c) log_a 1 x² =	d) log_a x^-4 =
e) log_a √x =	f) log_a 4√x =

1 2 log_a x 1 4 log_a x -2 log_a x -4 log_a x 2 log_a x 4 log_a x

Versuche: 000

Aufgabe 27: Ordne die richtigen Terme zu.

a) log_a (x · y)² =

b) log_a

x y

c) log_a

x² · y⁴

d) log_a

x² y⁴

e) log_a

f) log_a

1 x²y⁴

2 log_a x + 4 log_a y 2 log_a x + 2 log_a y log_a x + 2 log_a y 2 log_a x - 2 log_a y 2 log_a x - 4 log_a y -2 log_a x - 4 log_a y

Versuche: 000

Aufgabe 28: Ordne die richtigen Terme zu.

a) log_a

x(y - z)²

b) log_a

x(y + z)^-2

c) log_a

x √(y + z)

d) log_a

√xy

e) log_a

f) log_a

½ log_a x - ½ log_a y ½ log_a x + ½ log_a y log_a x + 2 log_a y log_a x + ½ log_a (y + z) log_a x - 2 log_a (y + z) log_a x + 2 log_a (y - z)

Versuche: 000

Aufgabe 29: Ordne die richtigen Terme zu.

a) log_a x + log_a y - log_a z =

b) 3 log_a x + 5 log_a y - 2 log_a z =

c) 3 log_a x - (log_a y + ½ log_a z) =

d) 2 log_a (x - y) - 1 3 log_a (x+y) =

e) 1 3 log_a (x² + y²) - 2 log_a x =

log_a log_a log_a x³y⁵ z² log_a log_a xy z

Versuche: 000

Aufgabe 30: Ordne die richtigen Terme zu.

a) log₃ 6 - log₃ 2 + log₃ 1 = = =

b) log₂ 4 + log₂ 12 - log₂ 3 = = =

c) log₅ 6x + log₅ 1 3x + log₅ 12,5 = = =

d) log_a (x + 1) + log_a (x - 1) - log_a (x² - 1) = = =

e) log₃ 27^x x = = =

log₂ 4 · 12 3 log₃ 6 · 1 2 x · log₃ 27 x log₅ 6x 3x · 12,5 log_a (x + 1)(x - 1) x² - 1 log_a 1 log₃ 3 log₂ 16 log₅ 25 log₃ 27 0 1 2 3 4

Versuche: 000

Exponentialgleichung

Steht die Variable im Exponenten, dann handelt es sich um eine Exponentialgleichung. Gelöst werden Exponentialgleichungen nach folgendem Schema:

Beispiel: 2^{3x - 5} + 6 = 134

•

Variable isolieren

2^{3x - 5} = 128

•

Logarithmieren

lg (2^{3x - 5}) = lg 128

•

Logarithmengesetze
anwenden

(3x - 5) · lg 2 = lg 128

| : lg 2

•

Nach Variable
auflösen

3x - 5 =	lg 128
	lg 2

| + 5 | : 3

x =	lg 128	+ 5 : 3 = 4
	lg 2

Aufgabe 31: Bestimme x auf drei Nachkommastellen gerundet.

^x =

x =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 32: Bestimme x auf drei Nachkommastellen gerundet.

^(x) =

Hilfe

lg (a ^{x n})

lg b

(x n) · lg a

lg b

x · lg a n · lg a

lg b

x · lg a

lg b n · lg a

lg a

x =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 33: Bestimme x auf drei Nachkommastellen gerundet.

Hilfe

lg (a )

lg b

· lg a

lg b

lg a

lg b · x

lg a

lg b

x =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 34: Bestimme x auf drei Nachkommastellen gerundet.

a · b^cx = d^xe

Hilfe

lg (a · b^nx)

lg (c^{x - m})

lg a + nx · lg b

(x - m) · lg c

lg a + nx · lg b

x · lg c - m · lg c

lg a - m · lg c

x · lg c - nx · lg b

lg a - m · lg c

x · (lg c - n · lg b)

lg a - m · lg c

lg c - n · lg b

x =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 35: Bestimme x auf drei Nachkommastellen gerundet.

a · b^{x + 1} = c^{x - 1}

Hilfe

lg (a · b^{x + 1})

lg (c^{x - 1})

lg a + (x + 1) · lg b

(x - 1) · lg c

lg a + x · lg b + lg b

x · lg c - lg c

lg a + lg b + lg c

x · lg c - x · lg b

lg a + lg b + lg c

x · (lg c - lg b)

lg a + lg b + lg c

lg c - lg b

x =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 36: Bestimme x auf drei Nachkommastellen gerundet.

f · d^xe = a · b^cx

Hilfe

lg (a · b^{x - n})

lg (c · d^mx)

lg a + (x - n) · lg b

lg c + mx · lg d

lg a + x · lg b - n · lg b

lg c + mx · lg d

x · lg b - mx · lg d

lg c - n · lg b - lg a

x · (lg b - m · lg d)

lg c - n · lg b - lg a

lg b - m · lg d

x =

richtig: 0falsch: 0

Aufgabe 37: Herr Pecunia legt zu einem Zinssatz von an. Nach welcher Zeit verbucht er (Zinsen und Zinseszinsen eingerechnet) auf seinem Konto? Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

Herr Pecunia verbucht nach Jahren auf seinem Konto.

richtig: 0falsch: 0

Logarithmus

Basiswechsel

Logarithmengesetzefür u>0, v>0, x>0, a>0, a ≠ 1

Exponentialgleichung

Logarithmengesetze
für u>0, v>0, x>0, a>0, a ≠ 1