Interaktive Formelsammlung

Alle Variablen können nach dem Anklicken durch Zahlen ersetzt werden.

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Formeln zurücksetzen

Α, α
Β, β
Γ, γ
Δ, δ
Ε, ε
Ζ, ζ

-
-
-
-
-
-

Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta

Η, η
Θ, θ
Ι, ι
Κ, κ
λ, λ
Μ, μ

-
-
-
-
-
-

Eta
Theta
Iota
Kappa
Lambda
My

Ν, ν
Ξ, ξ
Ο, ο
Π, π
Ρ, ρ
Σ, σ

-
-
-
-
-
-

Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma

Τ, τ
Υ, υ
Φ, φ
Χ, χ
Ψ, ψ
Ω, ω

-
-
-
-
-
-

Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega

Addition	+ =
Summand + Summand = Summe
Subtraktion	- =
Minuend - Subtrahend = Differenz

Multiplikation	· =
Faktor 1 · Faktor 2 = Produkt
Division	: = (b≠0)
Dividend : Divisor = Quotient

Potenzieren

Radizieren

a^b → Potenz
a → Basis
b → Exponent
c → Potenzwert

			=

^b√a → b-te Wurzel
a → Radikant
b → Wurzelexponent
c → Wurzelwert

Kommutativgesetz
(Vertauschungsgesetz)

+ = +

· = ·

Assoziativgesetz
(Verbindungsgesetz)

+ ( + ) = ( + ) +

· ( · ) = ( · ) ·

Distributivgesetz
(Verteilungsgesetz)

· ( ± ) = · ± ·

±	=		±
	=		±

Erweitern

Kürzen

	=	·
	=	·

	=	:
	=	:

Zähler und Nenner
mit gleicher Zahl
multiplizieren

Zähler und Nenner
mit gleicher Zahl
dividieren

Addition b ≠ 0

Subtraktion b ≠ 0

	+		=	+
	+		=

	-		=	-
	-		=

Zähler + Zähler

Nenner gleichnamig

Zähler - Zähler

Nenner gleichnamig

Multiplikation

Division b, c, d ≠ 0

	·		=	·
	·		=	·

	:		=		·		=	·
	:		=		·		=	·

Zähler · Zähler

Nenner · Nenner

Mit dem Kehrwert
multiplizieren

Plusklammer auflösen

Zeichen bleiben erhalten

+ (- + - ) = - + -

Minusklammer auflösen

Zeichen ändern sich

- (- + - ) = + - +

Ausmultiplizieren

· (- + - ) = - · + · - ·

Multiplizieren von Summen

( + ) · ( - ) = · - · + · - ·

Potenzieren

¹ =

² = ·

=		· … ·
=		· … ·
		n Faktoren

⁰ = 1 (a≠0)

^-1 =	1

^-2 =	1
	²

^-3 =	1
	³

...

Zehnerpotenz

10¹ = 10

10³ = 1 000

10⁶ = 1 000 000

5 ·10³ = 5000

10^-1 = 0,1

10^-3 = 0,001

10^-6 = 0,000001

5 ·10^-3 = 0,005

Binomische Formeln (a ± b) · (a ± b)

( + )² = ² + 2 · · + ²

( - )² = ² - 2 · · + ²

( + ) · ( - ) = ² - ²

Potenzregeln	() = ^·
· = ⁺	· = ( · )
: = ^-	: = ( : )
Basis gleich	Exponent gleich

Prozent

Prozentwert

=	·
	100

Prozentsatz

=	· 100

Grundwert

=	· 100

Verhältnisgleichung
: = :100

Produktgleichung
· 100 = ·

Promille

Promillewert

=	·
	1000

Promillesatz

=	· 1000

Grundwert

=	· 1000

Verhältnisgleichung
: = :1000

Produktgleichung
· 1000 = ·

Zinsen

geg:

K = 2000 €, p = 3%,
M = 5 Monate | ges: Z

1. Jahreszinsen
100 %	≙	2000 €
1 %	≙	20 €
3 %	≙	60 €

2. Zinsen
12 M	≙	60 €
1 M	≙	5 €
5 M	≙	25 €

Kapital

geg:

Z = 25 €, p = 3 %,
M = 5 Monate | ges: K

1. Jahreszinsen
5 M	≙	25 €
1 M	≙	5 €
12 M	≙	60 €

2. Kapital
3 %	≙	60 €
1 %	≙	20 €
100 %	≙	2000 €

Zinssatz

geg:

K = 2000 €, Z = 25 €,
M = 5 Monate | ges: p

1. Jahreszinsen
5 M	≙	25 €
1 M	≙	5 €
12 M	≙	60 €

2. Zinssatz
2000 €	≙	100 %
1 €	≙	0,05 %
60 €	≙	3 %

Zeit

geg:

K = 2000 €, p = 3%,
Z = 25 € | ges: M

1. Jahreszinsen
100 %	≙	2000 €
1 %	≙	20 €
3 %	≙	60 €

2. Zeit
60 €	≙	12 M
1 €	≙	0,2 M
25 €	≙	5 M

Jahreszinsen

Z = Zinsen

p = Zinssatz

K = Kapital

=	·
	100

=	· 100

=	· 100

Monatszinsen

m = Monate

=	· ·
	100 · 12

=	· 100 ·12
	·

=	· 100 · 12
	·

=	· 100 · 12
	·

Tageszinsen

t = Tage

=	· ·
	100 · 360

=	· 100 ·360
	·

=	· 100 · 360
	·

=	· 100 · 360
	·

Zinseszins

q=1+p:100

K_n	=	End- kapital
K₀	=	Anfangs- kapital
Z	=	Zins- faktor
n	=	Jahre

= ₀ ·

₀ =

=
			₀

log
	₀

log

Endwert
berechnen

Anfangswert
berechnen

= ₀ ·

₀ =

Wachstumsfak-
tor berechnen

Schrittanzahl
berechnen

=
			₀

log
	₀

log

spitzer Winkel 0° < < 90°	rechter Winkel = 90°	stumpfer Winkel 90° < < 180°
gestreckter Winkel = 180°	überstumpfer Winkel 180° < < 360°	Vollwinkel = 360°

Scheitelwinkel (α, α') =
Nebenwinkel (α, β) + = 180°

Stufenwinkel (γ, γ') =
Wechselwinkel (δ, δ') =

Winkelsumme Dreieck

+ + = 180°

Winkelsumme Viereck

+ + + = 360°

= + +

Dreieck

=	· _a
	2

=	· _b
	2

=	· _c
	2

Quadrat

= ²

= 4 ·

= · √2

Rechteck

= ·

= 2 · ( + )

Parallelogramm

= · _a

= · _b

= 2 · ( + )

Trapez

=	+
	2

=	+	·
	2

= ·

= + + +

Raute

=	·
	2

= 4 ·

Drachen

=	·
	2

= 2 · ( + )

Kreis

= π · ²

= 2 · π ·

= π ·

Kreisring
= π · _a² - π · _i²

Kreissektor

_s =		· π · ²
	360°

=		· π ·
	360°

Satz des Pythagoras

² + ² = ²

² - ² = ²

Wurzel ziehen!

Höhensatz

_c² = ·

Kathetensatz

² = ·
² = ·

Würfel

= · ·

= ³

= 6 · ²

= · √3

Quader
= · ·
= 2 · ( · + · + · ) = √ ² + ² + ²

Prisma

= _G ·

= 2 · _G ·

Zylinder

= π · ² ·

= 2 · π · · ( + )

= 2 · π · ·

Pyramide

(quadratisch)

=	1	· ² ·
	3

= · ( + 2 · _s)

= 2 · · _s

Kegel

=	1	· π · ² ·
	3

= π · · ( + )

= π · ·

Kugel

=	4	· π · ³
	3

= 4 · π · ²

Pyramidenstumpf

(quadratisch)

= 2 · (₁ + ₂) · _s)

=	1	· · (₁² + ₁ · ₂ + ₂²)
	3

= ₁² + 2 · (₁ + ₂) · _s + ₂²

Kegelstumpf

= π · · (₁ + ₂)

=	1	· π · · (₁² + ₁ · ₂ + ₂²)
	3

= π · [₁² + · (₁ + ₂) + ₂²]

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie übereinstimmen ...
•	in zwei Winkeln	= =
•	in allen Verhältnissen entsprechender Seiten	: = : = :
•	in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten	= : = :

Erster Strahlensatz

	=
	=

	=
	=

Zweiter Strahlensatz

	=
	=

	=
	=

Normalform

² + + = 0

Lösungsformel

_1,2 = -		±	²	-
	2		4

=	²	-
	4

Lösungen:
D > 0 → zwei
D = 0 → eine
D < 0 → keine

Allgemeine Form

² + + = 0

Lösungsformel		Lösungen: D > 0 → zwei D = 0 → eine D < 0 → keine
_1,2 = -	- ± √² - 4 · ·
	2 ·
= ² - 4 · ·

Satz von Vieta

Normalform

Allgemeine Form

₁ + ₂ = -

₁ · ₂ =

₁ + ₂ = -

₁ · ₂ =

Hauptform

= · +

Punkt-Steigungs-Form

=	- ₁
	- ₁

= · ( - ₁) + ₁

Zwei-Punkte-Form

- ₁	=	₂ - ₁
- ₁	=	₂ - ₁

Steigung
= tan =	₂ - ₁
= tan =	₂ - ₁

Streckenlänge
P₁P₂

=	(₂ - ₁)² + (₂ - ₁)²

Normalparabel

= ²

Scheitelpunkt
S(0|0)

Verschobene Normalparabel
y-Achsenverschiebung = ² + → S(0\|) x-Achsenverschiebung = ( - )² → S(\|0) xy-Achsenverschiebung = ( - )² + → S(\|)

Parabel der Form = · ²

Normalform und Scheitelform

= ² + · +

=	² + · +			²	+ -			²
		2				2

=	+			²	+ -	²
		2				4

S-			-	²
	2			4

Sinus:	sin =


Kosinus:	cos =


Tangens:	tan =

Sinus

sin =

= sin ·

=
	sin

sin =

= sin ·

=
	sin

Kosinus

cos =

= cos ·

=
	cos

cos =

= cos ·

=
	cos

Tangens

tan =

= tan ·

=
	tan

tan =

= tan ·

=
	tan

Urliste ungeordnete		Minimum Min.
Liste: 5, 2, 9, 2, 3		kleinster Wert: 2
Rangliste geordnete		Maximum Max.
Liste: 2, 2, 3, 5, 9		größter Wert: 9
Umfang n		Spannweite w
Werteanzahl n: 5		Max.₍₉₎ - Min.₍₂₎: 7

Modalwert m

häufigster Wert: 2

Mittelwert x

(arithmetisches Mittel)

x:	Summe aller Werte
	Anzahl aller Werte
x: 4,2

Zentralwert z

(Median)

mittlerer Wert der
Rangliste

Bei gerader Anzahl der
Mittelwert der beiden
mittleren Werte

Laplace-Experiment
Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.

Beispiel: Würfel

Ereignis E
Kombinierte Ergebnisse

Wahrscheinlichkeit P
eines Ereignisses (E)

P(E) =	Anzahl günstiger Ergebnisse
	Anzahl möglicher Ergebnisse

P(• = 3) =	1
	6

Gegenreignis E
Alle ungünstigen Ereignisse

P(E) = 1 - P(E)

P(• ≠ 3) = 1 -	1	=	5
	6		6

Sicheres Ereignis

P(E) = 1

P(• > 0) = 1

unmögliches Ereignis

P(E) = 0

P(• < 0) = 0

Produktregel

P(2 x orange)

Die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses ist gleich
dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten
längs des Pfades, der
zum Ergebnis führt.

Summenregel P(2 x gleichfarbig)

Die Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses ist
gleich der Summe
der Wahrscheinlichkeiten
aller Pfade, die für dieses Ereignis
günstig sind.

Ziehen mit zurücklegen

Eine Kugel wird
gezogen und wieder
zurückgelegt.

Der Nenner bleibt gleich.

Ziehen ohne zurücklegen

Eine Kugel wird
gezogen und nicht
zurückgelegt.

Der Nenner wird um 1 kleiner.

Länge

Umwandlungszahl 10

1 km

1000 m

→

1 m

0,001 km

1 m

10 dm

→

1 dm

0,1 m

1 dm

10 cm

→

1 cm

0,1 dm

1 cm

10 mm

→

1 mm

0,1 cm

Fläche

Umwandlungszahl 100

1 km²

100 ha

→

1 ha

0,01 km²

1 ha

100 a

→

1 a

0,01 ha

1 a

100 m²

→

1 m²

0,01 a

1 m²

100 dm²

→

1 dm²

0,01 m²

1 dm²

100 cm²

→

1 cm²

0,01 dm²

1 cm²

100 mm²

→

1 mm²

0,01 cm²

Volumen

Umwandlungszahl 1000

1 km³

1 000 000 000 m³ ↓

1 m³ = 0,000 000 001 km³

1 m³

1000 dm³

→

1 dm³

0,001 m³

1 dm³

1000 cm³

→

1 cm³

0,001 dm³

1 cm³

1000 mm³

→

1 mm³

0,001 cm³

Hohlmaße

1 hl

100 l

→

1 l

0,01 hl

1 l

1000 ml

→

1 ml

0,001 l

1 l

1 dm³

1 ml

1 cm³

Masse

Umwandlungszahl 1000

1 t

1000 kg

→

1 kg

0,001 t

1 kg

1000 g

→

1 g

0,001 kg

1 g

1000 mg

→

1 mg

0,001 g

Zeit

1 Jahr

365 Tage

1 Tag

24 h

→

1 h

≈

0,0417 Tage

1 h

60 min

→

1 min

≈

0,0167 h

1 min

60 s

→

1 s

≈

0,0167 min

Geschwindigkeit

3,6

→

5 m

≈

0,28

18 s

Interaktive Formelsammlung

Griechisches Alphabet

Grundrechenarten

Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

Potenzieren

Radizieren

Rechengesetze

Kommutativgesetz(Vertauschungsgesetz)

Assoziativgesetz(Verbindungsgesetz)

Distributivgesetz(Verteilungsgesetz)

Bruch

Erweitern

Kürzen

Addition b ≠ 0

Subtraktion b ≠ 0

Multiplikation

Division b, c, d ≠ 0

Klammern

Plusklammer auflösen

Minusklammer auflösen

Ausmultiplizieren

Multiplizieren von Summen

Potenz

Potenzieren

Zehnerpotenz

Binomische Formeln (a ± b) · (a ± b)

Potenzregeln

Prozent, Promille

Prozent

Promille

Zinsen mit Dreisatz (Beispiel)Im Bankwesen gilt: 1 Jahr hat 360 Tage; 1 Monat hat 30 Tage

Zinsen

Kapital

Zinssatz

Zeit

Zinsen mit FormelIm Bankwesen gilt: 1 Jahr hat 360 Tage; 1 Monat hat 30 Tage

Jahreszinsen

Monatszinsen

Tageszinsen

Zinseszins

Wachstumsprozesse

Endwertberechnen

Anfangswertberechnen

Wachstumsfak-tor berechnen

Schrittanzahlberechnen

Winkelgrößen

spitzer Winkel

rechter Winkel

stumpfer Winkel

gestreckter Winkel

überstumpfer Winkel

Vollwinkel

Winkel an sich schneidenden Geraden

Scheitelwinkel (α, α')

Nebenwinkel (α, β)

Stufenwinkel (γ, γ')

Wechselwinkel (δ, δ')

Winkelsummen

Winkelsumme Dreieck

Winkelsumme Viereck

FlächeA: Flächeninhalt | M: Kreismitte | e, f: Länge der Flächendiagonale | d: Durchmesser | h: Höhe | r: Radius | u: Umfang

Dreieck

Quadrat

Rechteck

Parallelogramm

Trapez

Raute

Drachen

Kreis

Kreisring

Kreissektor

Pythagoras

Satz des Pythagoras

Höhensatz

Kathetensatz

KörperV: Volumen | O: Oberfläche | M: Mantelfläche | M: Kreismitte | d: Durchmesser | d: Raumdiagonale | s: Länge der Mantellinie | G: Grundfläche | h: Höhe | r: Radius

Würfel

Kommutativgesetz
(Vertauschungsgesetz)

Assoziativgesetz
(Verbindungsgesetz)

Distributivgesetz
(Verteilungsgesetz)

Zinsen mit Dreisatz (Beispiel)
Im Bankwesen gilt: 1 Jahr hat 360 Tage; 1 Monat hat 30 Tage

Zinsen mit Formel
Im Bankwesen gilt: 1 Jahr hat 360 Tage; 1 Monat hat 30 Tage

Endwert
berechnen

Anfangswert
berechnen

Wachstumsfak-
tor berechnen

Schrittanzahl
berechnen

Fläche
A: Flächeninhalt | M: Kreismitte | e, f: Länge der Flächendiagonale | d: Durchmesser | h: Höhe | r: Radius | u: Umfang

Körper
V: Volumen | O: Oberfläche | M: Mantelfläche | M: Kreismitte | d: Durchmesser | d: Raumdiagonale | s: Länge der Mantellinie | G: Grundfläche | h: Höhe | r: Radius

Streckenlänge
P₁P₂

Laplace-Experiment
Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.